Calculus Review¶

7. 矢量代数和空间解析几何¶

数量积向量积混合积¶

空间中点到直线的距离

求点 \(R\) 到直线 \(PQ\) 的距离.
\(d=\frac{\pmb{PQ}\times \pmb{PR}}{\pmb{PQ}}\).

四面体体积

求四面体 \(ABCD\) 体积
\(V=\frac{1}{6}[\pmb{AB}\times \pmb{AC}]\cdot \pmb{AD}\).
平行六面体的体积是等于相邻三边的混积，四面体的体积是对于平行六面体的1/6.

空间中的平面和直线¶

求过已知直线 \(L:\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\) 的平面
选择用平面束求解，因为求解平面包含在平面束 \(\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\) 中，结合其他条件确定 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 即可
平面的夹角( \(\pmb n_1\) 和 \(\pmb n_2\) 是两平面的法向量)
\(\cos\theta=\frac{|\pmb n_1\cdot\pmb n_2|}{|\pmb n_1||\pmb n_2|}\)
直线的夹角( \(\pmb n_1\) 和 \(\pmb n_2\) 是两直线的方向向量)
\(\cos\theta=\frac{|\pmb n_1\cdot\pmb n_2|}{|\pmb n_1||\pmb n_2|}\)
平面和直线的夹角( \(\pmb n_1\) 和 \(\pmb n_2\) 分别是平面的法向量和直线的方向向量)
\(\cos\theta=\frac{|\pmb n_1\cdot\pmb n_2|}{|\pmb n_1||\pmb n_2|}\)

二次曲面¶

......

8.多元微分及其应用¶

基础知识¶

全微分存在（可微）的判定

\(dz-f_x(x_0,y_0)dx-f_y(x_0,y_0)dy\) 是否为 \(\rho\) 的高阶无穷小

隐函数组的偏导数

方程组 \(\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}\) 中 \(\begin{cases}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{cases}\)
\(J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\displaystyle \left| \begin{matrix}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{matrix}\right|\)
\(\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}\)(就是在 \(J\) 中把需要求偏导的上面的变量换成下面的变量再乘 \(-\frac{1}{J}\))
......（同上）

方向导数

对于三元函数 \(f(x,y,z)\) 来说，如果它在空间一点 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 可微，那么沿方向 \(\pmb{e}_l=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)\) 的方向导数为
\(\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)cos\alpha + f_y(x_0,y_0,z_0)cos\beta + f_z(x_0,y_0,z_0)cos\gamma\).

梯度

记作 \(grad f(x_0,y_0)\) 或 \(\nabla f(x_0,y_0)\).
\(grad\ f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0)= f_x(x_0,y_0)\pmb i + f_y(x_0,y_0)\pmb j\).

切平面方程

函数 \(F(x,y,z)=0\) 在点 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面方程是
\(F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\).

求极值

多元函数的极值
函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 具有偏导数且在该点有极值，那么
\(f_x(x_0,y_0)=0\ \ f_y(x_0,y_0)=0\)
令\(A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)\)
- \(AC-B^2>0\) 时有极值，且当 \(A<0\) 时有极大值， \(A>0\) 时有极小值
- \(AC-B^2<0\) 时无极值
- \(AC-B^2=0\) 时不确定
条件极值
已知平面（曲面）方程，在平面（曲面）上求函数极限
拉格朗日乘数法
- 要找函数 \(z=f(x,y)\) 在附加条件 \(\phi(x,y)=0\) 下的可能极值点，先做出拉格朗日函数 \(L(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi(x,y)\)，\(\lambda\) 为参数，求其一阶偏导数使之为 \(0\)，然后与 \(\phi(x,y)=0\) 联合起来。
- \(\begin{cases} f_x(x,y)+\lambda \phi _x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda \phi _y(x,y)=0\\ \phi(x,y)=0 \end{cases}\)
还有一种情况，三元拉格朗日乘数法求函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(\phi(x,y,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0\) 的条件极值
- \(L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda\phi(x,y,z,t)+\mu\psi(x,y,z,t)\)

解题技巧¶

当需要关于偏导数的表达式时，先将偏导数表示出来，再带入化简（8.16）

9.重积分¶

曲面的面积(\(z=f(x,y)\))

\(A=\displaystyle\iint_D\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy\)

10.曲线积分和曲面积分¶

第一类曲线积分

\(ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt\)
\(ds=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt\)

第二类曲线积分

\(\displaystyle\int_LPdx+Qdy=\int^\beta_\alpha(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt\)
\(\displaystyle\int_LPdx+Qdy=\int^\beta_\alpha(P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t))dt\)

格林公式

当函数 \(P(x_0,y_0)\) 和 \(Q(x_0,y_0)\) 在 \(D\) 上有一阶连续偏导数时，则有： \(\displaystyle\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_LPdx+Qdy\)
但是需要注意：必须有连续偏导，也就是说每一点都需要有意义

斯托克斯公式

当函数 \(P,Q,R\) 在 \(\Sigma\) 连同边界 \(T\) 上有一阶连续偏导数时，则有： \(\displaystyle\iint_D(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_T Pdx+Qdy+Rdz\)

第一类曲面积分

\(dS=\displaystyle\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy\)

第二类曲面积分

\(\displaystyle\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy=\iint[P(x,y,z)\cos\alpha+Q(x,y,z)\cos\beta+R(x,y,z)\cos\gamma]dS\)

高斯公式

\(\displaystyle\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz=\iint _SPdydz+Qdxdz+Rdxdy\)
注意：\(P,Q,R\) 在 \(V\) 上连续，且有连续偏导
等号右边应该为二重环路积分

11.无穷级数¶

级数收敛的必要条件

如果级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 收敛，则一般项趋于0
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0\)

审敛法（以正向数列 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 和 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}v_n\) 为例）

比较审敛法
\(u_n\leq v_n\ (n=1,2,...)\)时
若级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}v_n\) 收敛，则级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 收敛；
若级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 发散，则级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}v_n\) 发散。
比较审敛法的极限形式
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\)
\(l=0\) 时若 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}v_n\) 收敛，则 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 收敛
\(l=+\infty\) 时若 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 发散，则 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}v_n\) 发散
\(0<l<+\infty\) 时\(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 和 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}v_n\) 敛散性一致
比值审敛法
如果 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)
\(\rho<1\) 时，级数收敛
\(\rho>1\) 时，级数发散
\(\rho=1\) 时，无法判断
根值审敛法
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\)
\(\rho<1\) 时，级数收敛
\(\rho>1\) 时，级数发散
\(\rho=1\) 时，无法判断
极值审敛法
如果 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}nu_n=l>0\) 则级数发散
如果 \(p>1,\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^pu_n=l\)，且 \(0<l<+\infty\)，级数收敛

\(p\) 级数

\(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^p}\) 为 \(p\) 级数
当 \(p\leq1\) 时，级数发散
当 \(p>1\) 时，级数收敛
证明
当 \(p\leq1\) 时，用比较审敛法和调和级数（\(p=1\) 时的 \(p\) 级数）比较可知
当 \(p>1\) 时，需要求将级数放缩为积分来求部分和，发现有边界
调和级数的证明
用反证法假设余项极限为 \(0\) ，在最高项变成两倍的时候便会出现余项的极限不为 \(0\) ，矛盾可知

交错级数判敛：莱布尼兹定理

如果交错级数 \(\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}u_n\) 满足如下条件，那么该交错级数收敛，且其和 \(s\leq u_1\)，其余项 \(r_n\) 的绝对值 \(|r_n|\leq u_{n+1}\)
\(u_n\geq u_{n+1}\ \ (n=1,2,3,...)\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\)

任一项级数的审敛方法（以 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 为例）

如果 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}|u_n|\) 收敛，则级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 绝对收敛
如果 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 收敛，且 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}|u_n|\) 发散，则 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 条件收敛
如果级数 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 绝对收敛，那么 \(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}u_n\) 必定收敛
绝对收敛的函数改变项的位置后构成的级数也收敛

幂级数¶

傅里叶级数¶

\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})\)
\(\begin{cases} a_n=\frac{2}{l}\displaystyle\int^l_{0}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx &(n=0,1,2,...)\\ b_n=\frac{2}{l}\displaystyle\int^l_0f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx &(n=1,2,...) \end{cases}\)

狄利克雷定理

如果 \(f(x)\) 是以 \(T=2l\) 为周期的周期函数，而且 \(f(x)\) 在 \([-l,l]\) 上逐段光滑，那么 \(f(x)\) 的傅里叶级数在任意点 \(x\) 处都收敛，并且收敛于左右极限的平均值

延拓

奇延拓
奇延拓是指将 \([0,l]\) 上的函数延拓为奇函数，再进行傅里叶展开，求得的是原函数的正弦级数
\(f(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\)
\(b_n=\frac{2}{l}\displaystyle\int^l_0f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx\)
偶延拓
偶延拓是指将 \([0,l]\) 上的函数延拓为偶函数，再进行傅里叶展开，求得的是原函数的余弦级数
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_n\cos \frac{n\pi x}{l}\)
- \(a_n=\frac{2}{l}\displaystyle\int^l_{0}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx\)

最后更新: 2023年11月17日 15:55:20
创建日期: 2023年7月7日 22:02:40