电磁学¶
1 静电场¶
1.1 库仑定律¶
1.1.1 电荷的量子化¶
大量实验证明，自然界中的任何带电体所带的电荷都是一个基本单元的整数倍，这种电荷离散、不连续的特性，叫做电荷的量子化。电荷的基本单元称为元电荷，用\(e\)表示。
1.1.2 库仑定律¶
真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力同它们的电荷量乘积成正比，和它们的距离的平方成反比，作用力在它们的连线上，同名相斥，异名相吸（\(\varepsilon_0\)为真空介电常数，\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8.988\times 10^9N\cdot m^2/C^2\)）。
1.1.3 电场强度的求法 -- 场强叠加原理¶
试探电荷在某点受到的电场力与试探电荷电量的比值为该点的电场强度。
1.1.3.1 点电荷系¶
在点电荷系中，某点的场强等于所有点电荷单独存在时产生的场强的矢量和。
1.1.3.2 电荷连续分布¶
将连续带电体看成许多无限小的电荷元，分别计算再求和。
1.2 高斯定理¶
1.2.1 电通量¶
电场中穿过某一个面的电场线的条数，称为电通量。 + 匀强磁场中平面的电通量：\(\Delta\varPhi_E=E\Delta S\cos\theta=\pmb E\cdot\Delta \pmb S\) + 非均匀磁场中给定面的电通量：\(\varPhi_E=\displaystyle\int_Sd\varPhi_E=\int_S\pmb E\cdot d\pmb S\)
Hint
电通量为标量，但有正负之分，为代数叠加。
对于闭合的曲面，电场线穿出时，标量为正；电场线穿入时，标量为负。对于不闭合的曲面，电通量的正负由法线方向决定。
1.2.2 高斯定理¶
真空中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面内所包围电荷的代数和除以\(\varepsilon_0\)，与曲面外的电荷无关。
1.3 电势¶
1.3.1 电势的计算¶
试探电荷\(q_0\)在电场中某点所具有的电势能，等于将试探电荷\(q_0\)从该点移动到无限远处中电场力所做的功。
电势就等于把单位正电荷从该点移动到电势为零的点的过程中，电场力做的功。
1.3.1.1 直接求值¶
已知电场分布进而电势零点，可以直接根据定义求出电势大小。
1.3.1.2 电势叠加¶
在电场中，任意一点的电势等于所有带电体单独在该点产生的电势的代数和。
1.3.2 等势面¶
在电场中，将电势相同的各点连接起来的曲面叫做等势面。
等势面密集的地方电场强度大，等势面稀疏的地方电场强度小。
等势面和电场线处处正交，电场线的方向总是指向电势降低的方向。
1.3.3 电势梯度¶
电场中某点电势的空间变化率的最大值称为该点的电势梯度。电势梯度是矢量，它的方向指向电势增加最快的方向。
Note
- 叠加法求场强 + 点电荷系：\(E=\frac{\sum F_i}{q_0}=\sum^n_{i=1}E_i\) + 电荷连续分布：\(E=\int dE=\int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\pmb{\hat r}\)
- 高斯定理 对称电场（球、柱、面）：\(\varPhi_e=\oint_S\pmb E\cdot d\pmb S=\frac 1 {\varepsilon_0}\sum_i{q_{i(内)}}\)
- 电势梯度法 求偏导：\(E_x=-\frac{d\pmb V}{d\pmb x},\ \ \ E_y=-\frac{d\pmb V}{d\pmb y},\ \ \ E_z=-\frac{d\pmb V}{d\pmb z}.\)
1.4 静电场中的导体¶
1.4.1 静电平衡后导体的电荷分布¶
1.4.1.1 条件¶
- 导体内部电场强度处处为零（导体是等势体）
- 导体表面电场强度处处垂直于表面（导体表面是等势面）
1.4.1.2 电荷分布¶
导体内部不带电（由高斯定理证明，导体内部场强为0），电荷只分布在表面。
导体表面曲率越大的地方电荷面密度越大，曲率越小的地方电荷面密度越小。
1.4.2 场强和电场面密度的关系¶
由高斯定理，导体达到静电平衡时，其表面上一点的场强与该点的电荷面密度成正比。
1.4.3 导体壳与静电屏蔽¶
1.4.3.1 导体壳内无带电体¶
在静电平衡下，导体是等势体，内表面无电荷，而且场强处处为零。
导体壳外部如果存在带电体，导体壳内场强也处处为零。因为外部带电体在壳里产生的电场与壳内的感应电场相抵消，但电势会随着壳外电荷的变化而变化。
若此时将导体壳接地，则导体变为电势为零的等势体。
Note
空腔导体不接地时内部场强总是为零，但电势随腔外带电体变化。
空腔导体接地时内部场强和电势处处为零。
1.4.3.2 导体壳内有带电体（假设带正电荷 \(q\) ）¶
导体壳内表面上所带的电荷与壳内电荷大小相等、符号相反。
假设导体壳带电 \(Q\)，静电平衡后，导体壳内电场强度为零，在壳中做一高斯面 \(S\)（\(S\) 包括壳内表面和空腔），可以得知，壳内表面带负电荷(\(-q\))，由电荷守恒知，导体外表面感应电荷为 \(Q+q\).
壳内带电体上电荷 \(q\) 在壳外产生的电场与导体壳内表面的感应电荷在壳外产生的电场处处抵消。壳外带电体同理。所以空腔内的电场由 \(q\) 和 \(-q\) 贡献，壳外电场由 \(Q+q\) 贡献。
导体壳中场强处处为零，所以空腔导体是等势体，但是腔内场强不为零，所以腔内电势不相等。
如果将导体壳接地，则外表面感应电荷被大地中和，空腔导体为零等势体。
Note
外界电场不受腔内带电体影响，腔内电场不受外界带电体影响。
1.4.4 导体存在时静电场的计算¶
考虑高斯定理、静电平衡条件、电荷守恒。
1.5 静电场中的电介质¶
1.5.1 电介质的极化¶
1.5.1.1 电介质¶
绝缘体中的电子被所属原子核紧束缚，，无自由电荷。因此绝缘体不能导电，但电场可以在其中存在。在电场的角度，将绝缘体称为电介质。由于正负电荷重心位置的不同，而构成了两类电介质分子。
- 有极分子：分子的正负电荷重心不重合。在无外场作用下单个分子存在固有电矩，因无序排列对外不呈现电性。
- 无极分子：分子的正负电荷重心重合。在无外场作用下整个分子无电矩。
1.5.1.2 电极化现象¶
- 有极分子的取向极化（同时也有位移极化，但取向极化占主导）
- 无极分子的位移极化
1.5.2 电极化强度与极化电荷¶
1.5.2.1 电极化强度矢量 \(\pmb P\)¶
在外电场的作用下，电介质极化，电介质内某点附件，单位体积的分子电矩的矢量和为该点的电极化强度。
\(P\) 的国际单位是库仑/米^2^，显然在 \(E_{外}=0\) 时，\(\sum{\pmb p_i}=0, \pmb P=0\).
\(P\) 与 \(E\) 成正比。由于分子的感应电矩随外电场的增强而增大，而分子的固有电矩也随外电场的增强而排列的更加整齐。对于各向同性电介质有（\(\chi_0\)为电介质的极化率）：
电介质内的静电场由两部分组成，分别为由束缚电荷激发的电场和外电场的场源电荷产生的电场，两者叠加而成电介质内的静电场。
1.5.2.2 极化强度和束缚电荷面密度的关系¶
束缚电荷面密度与该处的电极化强度在表面法线上的分量相等。
\(\sigma'\) 代表束缚电荷面密度，\(\pmb P\) 代表该处电极化强度，\(\pmb n\) 代表该面积元的单位法向量，\(\theta\) 代表电极化强度和面积元的法向量的夹角。
1.5.3 电介质中静电场的基本规律¶
1.5.3.1 有电介质空间的高斯定理¶
对于有电介质的电场空间，存在电位移矢量 \(\pmb D\) 的高斯定理，通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面包围的自由电荷的代数和。
Info
在各向同性的线性电介质中，\(\pmb D\)、\(\pmb E\) 和 \(\pmb P\) 三个矢量的方向相同，关系式为：
\(\varepsilon_0\) 为真空介电常数，令 \(1+\chi_e=\varepsilon_r\)，称 \(\varepsilon_r\) 为电介质的相对介电常数。又令 \(\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r\)，称 \(\varepsilon\) 为电介质的介电常数或电容率。
1.5.3.2 有电介质存在时静电场的环路定理¶
束缚电荷 \(q_束\) 产生的电场与自由电荷 \(q_自\) 产生的电场性质相同，都是保守力场，有
Info
- 先由 \(\displaystyle\oint_S\pmb D\cdot d\pmb S=\sum_{S_内}{q_i}\) 得到 \(\pmb D\).
- 再由 \(\displaystyle\pmb E = \frac{\pmb D}{\varepsilon}\) 得到 \(\pmb E\).
- 再由 \(\pmb P=\chi_0\varepsilon_0\pmb E\) 得到 \(\pmb P\).
- 再由 \(\sigma'=\pmb P\cdot\pmb n\) 得到 \(\sigma'\).
1.5.4 电容和电容器¶
1.5.4.1 孤立导体的电容¶
若一孤立导体带点 \(q\)，则该导体具有一定的电势 \(V\)，定义孤立导体的电容：\(C=\displaystyle\frac{q}{V}\)，反映了孤立导体容纳电荷的能力。
1.5.4.2 电容器的电容¶
电容 \(C\) 取决于电容器尺寸、结构、极板间电介质等等，决定式为 \(C=\displaystyle\frac{\varepsilon S}{d}\)。
1.5.4.3 电容的计算¶
- 设两极板带等量异号电荷 \(\pm q\)
- 用高斯定理求 \(\pmb D\)，再求场强 \(\pmb E\)，利用积分法计算极板间电势差 \(\Delta V\)
- 用电容器电容的定义 \(C=\displaystyle\frac{q}{\Delta V}\) 来求电容
Note
设带电量为 \(q\)，板正对面积为 \(S\)，板间距为 \(d\)，且 \(S>>d^2\)，其间充有介电常数为 \(\varepsilon\) 的介质，则：\(C=\displaystyle\frac{q}{\Delta V}=\frac{\sigma S}{Ed}=\frac{\varepsilon S}{d}\).
Note
两同轴金属圆柱面，长为 \(L\)，其间充有介电常数为 \(\varepsilon\) 的介质，设两圆柱面单位长度上分别带电量为 \(\pm\lambda\)，内、外半径分别为 \(R_1\)、\(R_2\)，则 \(C=\displaystyle\frac{\lambda L}{\Delta V}=\frac{\lambda L}{\int_{R_1}^{R_2}{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}dr}}=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(\frac{R_2}{R_1})}\).
Note
两个同心的金属球壳带有等量异种电荷 \(q\)，内、外球半径分别是 \(R_1\)、\(R_2\)，则 \(C=\displaystyle\frac{q}{\Delta V}=\frac{q}{\int_{R_1}^{R_2}{\frac{q}{4\pi\varepsilon r^2}dr}}=\frac{4\pi\varepsilon R_1 R_2}{R_2-R_1}\).
1.5.4.4 电容器的串联和并联¶
增强耐压，\(V=V_1+V_2+V_3+\dots+V_k\)，但电容减小，\(\displaystyle\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+\dots+\frac{1}{C_k}\)
增大电容，\(C=C_1+C_2+C_3+\dots+C_k\)，\(V=V_1=V_2=V_3=\dots=V_k\).
1.6 静电场的能量¶
1.6.1 电荷在外电场中的静电势能¶
一点电荷在静电场中某点的电势能等于它的电量与电场中该点电势的乘积。
1.6.2 带电体系的静电能¶
将各电荷从彼此分散在无限远处移动到现有位置过程中，外力作的功（或者将系统中各电荷从现有的位置彼此分散到无限远的过程中，它们之间静电力作的功）被称为带电体系得静电能。静电能数值是相对的，一般选取各电荷分散在彼此相距无限远时系统的静电能为零。
单一带电体自身电荷元相互作用的静电能称为它的自能，不同带电体上电荷的相互作用的静电能称为互能，电荷系统的总静电能等于互能和自能的和。即：\(W_总=W_互+W_自\)
1.6.2.1 点电荷系的互能¶
设一系列点电荷 \(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n\)，它们所处的位置分别为 \(V_1,V_2,V_3,\dots,V_n\)，则点电荷系的互能为
1.6.2.2 电荷连续分布的带电体的静电能¶
将每个带电体分割成许多电荷元，所有电荷元的相互作用能为：
1.6.2.3 电容器的静电能¶
1.6.3 电场的能量和能量密度¶
电场的能量密度为：
近代物理学认为静电能就是电场能，所以电场能为（ \(dV\)表示体积元）：
2 恒稳磁场¶
2.1 磁场和磁感应强度¶
2.1.1 磁场的基本性质¶
- 在磁场中的运动电荷、载流导体、磁铁等会受到磁场力的作用
- 载流导体或磁铁在磁场中运动的时候磁力会作功，表明磁场是有能量的
2.1.2 磁感应强度¶
描述磁场强度的物理量，运动电荷在磁场中受到的作用力为：
得到磁感应强度的数值为 \(B=\frac{F_{max}}{qv}\).
2.1.3 毕奥-萨伐尔定律¶
电流元 \(Idl\) 在与其距离为 \(r\) 的空间任意一点 \(P\) 处激发的电磁感应强度为
其中 \(\theta\) 是 \(dl\) 和从电流元到空间某点位置矢量的夹角，\(k=\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}\) 是比例系数，其中 \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}T\cdot m/A\)，为真空磁导率。
毕奥-萨伐尔定律的矢量表示形式为：
\(\pmb{e_r}\) 是电流元指向P点的单位矢量，\(dB\) 是一个矢量，其方向垂直于 \(d\pmb l\)和 \(\pmb r\) 确定的平面，指向服从右手定则。四指伸开指向电流方向，然后向位置矢量方向弯曲，大拇指所指方向就是磁感应强度方向。
Note
任何一段载流导线所激发的磁场为：
2.1.4 磁感应强度的计算¶
面电流密度是垂直电流方向的单位长度上通过的电流强度。面电流只是在导体表面的电流，所以所有的电流线都在某一个曲面上。
磁偶极矩 \(\pmb p_m=I\pmb S=IS\pmb{e_n}\)，\(S\) 是圆环电流所围的面积，\(\pmb{e_n}\) 是圆环面的法向单位矢量，让四指弯曲指向电流方向，大拇指方向就是磁偶极矩方向。载流圆环也称磁偶极子。
2.2 磁场的高斯定理和安培环路定理¶
2.2.1 磁通量¶
通过磁场中任意一个给定面的磁感应线总数称为通过该面的磁通量。
Warning
- 磁感线都是闭合曲线，没有起点和终点。
- 磁感线在空间不会相交。
2.2.2 高斯定理¶
穿出闭合面的磁感线数量等于穿入闭合面的磁感线数量，即应该任意闭合曲面的磁通量总为零：
2.2.3 安培环路定理¶
磁感应强度矢量 \(\pmb{B}\) 沿着任何闭合环路的线积分，等于真空的磁导率 \(\mu_0\) 乘以穿过这个闭合环路的电流的代数和：
2.2.4 安培环路定理的应用¶
2.2.4.1 无限长均匀圆柱面电流的磁场分布¶
设圆柱面的半径为 \(R\)，面上的电流 \(I\) 沿着圆周均匀分布，计算任意点P的磁感应强度。
先考虑P在圆柱面外的情况。选取过P点以圆柱面轴线上的O为圆心的圆环作为安培环路 \(L\)，其半径 \(r>R\)，令其绕行方向与电流方向成右手螺旋关系。而环路上的每一个点和P点都是等价的，磁感应强度相同，所以：
磁感应强度方向和环路绕行方向一致。
当P点在圆柱面内部时，即 \(r<R\)，同理可得：
如果P点在圆柱面外，则相当于是长直导线的磁场，当P点在圆柱面内，则磁感应强度为零。
2.2.4.2 无限长均匀圆柱体电流的磁场分布¶
设圆柱体的半径为 \(R\)，面上的电流 \(I\) 沿着圆周均匀分布，计算任意点P的磁感应强度。
当 \(r<R\) 时，令横截面上的电流密度为 \(j\)，\(j=\displaystyle\frac{I}{\pi R^2}\)，则可知：
当 \(r\geq R\) 时，相当于长直导线的磁场。
2.2.4.3 载流长直螺线管的磁场分布¶
我们已知无限长螺线管外的磁感应强度为零，螺线管内为均匀磁场，磁场方向与螺线管轴向方向平行。我们取一平行于轴线的环路 abcd，ab在螺线管内平行于轴线，cd在螺线管外平行于轴线，ad、bc穿过螺线管，连接起ab、cd。
bc、da垂直于磁感应强度方向，且外磁场为零，所以：
\(n\) 为单位长度上的线圈匝数，\(\mu_0\) 为真空磁导率，\(I\) 为螺线管中电流大小。
2.2.4.4 载流螺绕环的磁场分布¶
将导线密绕在一个环形管上就构成了螺绕环，设螺绕环的内径为 \(r_1\)，外径为 \(r_2\)，螺环绕上绕有的线圈总匝数为 \(N\)，电流强度为 \(I\)，取螺环内部安培环路的半径为 \(r\)，有对称性和安培环路定理：
则管内磁感应强度为： \(B=\displaystyle\frac{\mu_0NI}{2\pi r}\)，方向与电流流向成右手螺旋关系。
当 \(r<r_1\) 或 \(r>r_2\) 时，环路包围的电流代数和为零，可得：\(B=0\).
2.3 磁场与实物的相互作用¶
2.3.1 磁场对运动电荷的作用¶
磁场对运动电荷的作用称为洛伦兹力，大小为 \(F_m=|\pmb{F_m}|=qvB\sin\theta\)，其中 \(\theta\) 是磁感应强度 \(\pmb{B}\) 和运动电荷的速度 \(\pmb{v}\) 之间的夹角。矢量表达式为：
2.3.2 霍尔效应¶
将一载流导体板放在磁场中，若磁感应强度 \(\pmb{B}\) 的方向垂直于导体板且与电流 \(\pmb{I}\) 的方向垂直，则会在导体板上下两侧面之间产生一定的电势差，这一现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电压。
设导体中载流子密度为 \(n\)，每个载流子的电荷量为 \(q\)，平均漂流速度为 \(v\)。如果载流子为正电荷，那么载流子便会受到向上（实际需要考虑具体的电流方向和磁场方向）的洛伦兹力，正电荷向上极板移动，直到上下极板存在一定的电势差，形成霍尔电场 \(E_H\)，电场力与洛伦兹力平衡，载流子不会发生横向漂移。（如果载流子是负电荷，相应的，就会向下极板移动，从而形成霍尔电场）
由平衡可得 \(qvB=qE_H\)，即霍尔电场 \(E_H=vB\). 霍尔电压为 \(U_H=\displaystyle\int E_Hdz=E_Hb=vBb\)
又 \(I=\displaystyle\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{dq}{dt}=\frac{(nq)\cdot(ab\cdot dl)}{dt}=nqabv\)，带入霍尔电压可得 \(U_H=\displaystyle\frac{IB}{qna}=R_H\frac{IB}{a}\).（其中 \(R_H=\displaystyle\frac{1}{qn}\) 为常数，称为霍尔系数，和材料本身的物理性质有关）
2.3.3 磁场对载流导线的作用¶
电流元在磁场中受力：
在均匀磁场中有限长任意形状的载流导线受力：
当载流导线为环路的时候，在均匀磁场中受到的合力为零。
2.3.4 均匀磁场作用于载流线圈上的磁力矩¶
均匀磁场对任意形状线圈的磁力矩只取决于线圈的磁偶极矩 \(\pmb{p_m}\).
2.4 磁介质¶
2.4.1 物质的磁性¶
将磁介质放入磁感应强度为 \(B_0\) 的磁场中，实验上可以观测各种物质内部的磁场 \(B\) 于原磁场的关系，定义相对磁导率：
\(\mu_r>1\) 表示顺磁质，\(\mu_r<1\) 表示抗磁质，\(\mu_r >>1\) 表示铁磁质。
2.4.2 介质的磁化¶
2.4.2.1 磁化强度¶
磁介质内，每个分子的分子电流都对应着一个等效的磁偶极矩 \(p_m\)，而单位体积内分子磁矩的矢量和定义为磁化强度：
实验表明：
2.4.2.2 顺磁质¶
在有磁场的情况下，顺磁质激发出的磁场与外磁场同向，使得顺磁质内的磁场比原磁场大。
2.4.2.3 逆磁质¶
在有磁场的情况下，逆磁质激发出的磁场与外磁场反向，使得顺磁质内的磁场比原磁场小。
2.4.3 有磁介质时的安培环路定理¶
有磁介质时，安培环路定理：
将相对磁导率带入可得：
定义磁场强度 \(\pmb{H}=\displaystyle\frac{\pmb{B}}{\mu_r\mu_0}\)
得到有介质的安培环路定理：
创建日期: 2023年11月17日 15:55:20